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浅谈二次函数在高中阶段的应用

2012-06-13 15:12:09 信息员:刘凤池 审核人:刘凤池 来源: 浏览次数: [字体: ]

 

在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,要对他们的基本概念和基本性质灵活应用,对二次函数还需再深入习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

类型I:已知ƒ(x)= 2x2+x+2,求ƒ(x+1)

这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ:设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)

这个问题理解为,已知对应法则ƒ下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6

(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。

    令t=x+1,则x=t-1  ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)= x2-6x+6

二、二次函数的单调性,最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-]及[-,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。

类型Ⅳ设ƒ(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并画出 y=g(t)的图象

解:ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1

当t<0时,g(t)=ƒ(t+1)=t2-2

           t2-2, (t<0)

   g(t)=  -2,(0≤t≤1)

          t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。

三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维:

类型Ⅴ:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<。

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X<ƒ(x)<x1

(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0< 。

解题思路:

本题要证明的是x<ƒ(x),ƒ(x)<x1和x0<  ,由题中所提供的信息可以联想到:①ƒ(x)=x,说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程ƒ(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1,x2,可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式,因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题:                                                                                                                                  

(Ⅰ)先证明x<ƒ(x),令ƒ(x)=ƒ(x)-x,因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根,ƒ(x)=ax2+bx+c,所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)

因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时, x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,因此ƒ(x) >0,即ƒ(x)-x>0.至此,证得x<ƒ(x)

根据韦达定理,有  x1x2=    ∵ 0<x1<x2<,c=ax1x2<x=ƒ(x1),      又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1), 根据二次函数的性质,曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线,因此,函数y=ƒ(x)在闭区间[0,x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到,而且不可能在区间的内部达到,由于ƒ(x1)>ƒ(0),所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1

即x<ƒ(x)<x1

b2

4a

 
(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-)2+(c-  ),(a>0)

函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=- ,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-,∵x2-<0,

∴x0=-=(x1+x2-)<,即x0=。

二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入。             

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